一点众所周知的事
众所周知，我们很多地方的数学老师上课本质不是在讲数学，而是在讲解题学，那么什么是数学什么是解题学，在下觉得数学和解题学区别在于侧重点（这不废话），数学应该要讲清楚所要研究对象的结构和特点，从整个数学系统上来搞清楚各个结构以及在不同系统之间的关系，比如说数学分析的书就应该要讲清楚单变量微分学和积分学，讲清楚多元微积分学（这部分我觉得是一本书能否讲清楚微积分的关键和难点，华师是直接推广的，zorich是用的流形那套也不错，还有Godman和那本德国的猫猫具体啥没名字忘了（这两本没则么看过但是风评不错），想了解更多可以看647老师的荐书视频），数学分析核心有个微积分基本定理贯穿始终，包括后面的stokes定理，整个一气呵成有明确的主线. 那么解题学呢，很简单，它也会讲这些但是主要观点在于如何高效解题，其实两者不冲突但是要结合得好就很看老师的功力了，为了效率等原因（近期南京一中事件），很多老师还是讲着讲着就变成习题课为主了
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一点题外话
在人的任何阶段学习并不是一切，但现代社会其实很看重人的学习和应用能力。首先是关于学好数学，这个分为两个方面来讲，分别是如何学习课堂的知识，如何自我提高。当然如果你很了解自己，那接下来就不用细看了，因为都是你知道的
什么是函数
函数是现代数学的核心概念之一，我们都知道函数概念包括定义域domain，对应关系function，值域，但其实值域没那么重要因为它会被定义域和对应关系决定，所以第三个应当是range，中文叫做陪域``上域（准确说值域是陪域的子集，陪域是指函数可能映射到的集合，值域是指实际映射到的集合，比如函数 \(y = x^{2}\) 在定义域分别为正实数，非负数和实数的值域和陪域，可以想想），现在我们简单下一个定义（详细的定义可以看各类教材）
function函数-
\(f: X \rightarrow Y\) 是一个将 \(X\) 上的值映射到 \(Y\) 上，并且都有唯一确定的值与之对应
好了接下来就没什么可以讲的吗？不是，在高中阶段有两个重要的东西有的老师可能没讲清楚，它们是函数的复合以及函数的逆函数
我们先讲一下几个需要注意的点，分别是 求定义域，值域，常见函数及其图像
求定义域
- 分数分母不为零
- 不能取到一个负数的偶次方根（常见的是平方根）
- 不能取非正数的对数
一个例子
试试这个函数求出它的定义域 \(f(x) = \dfrac{ln(x+8)\sqrt{26-2x}}{(x-2)(x+19)}\)
有人会说那 \(y = tanx\) 这个函数说过 \(x \neq \frac{\pi}{2}\) 为啥不在其中，其实这个就是第一条
值域
值域的方法基本就是那几种题型，关键是根据定义域和函数对应关系，这个我们在题目中总结
常见函数及其定义域
这个主要是为了更了解函数和画出函数图像，包括这几类，多项式函数、有理函数、绝对值函数和教材上的指对数函数三角函数（下次再说 首先声明，对于一个函数我们需要了解很多，但最基本是它的定义域，函数大致图像，或者详细的函数基本性质（单调性奇偶性周期性）这几点
-
多项式函数：对于一个多项式函数 \(f(x) = a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_{2}x^{2} + a_{1}x + a_{0}\) ，当然我们最常见的是二次函数 \(f(x) = ax^{2} + bx + c\) 大家可以用这个来类比思考下面的。首先打开任意一个绘图软件（当然也可以自己利用函数性质和描点来画图，不过在学习阶段直观的感受是很重要的，所以用这个来检验很方便）比如
Desmos，mathematica等等，画出 \(y = x , y = x^{2} , y = x^{3} , y = x^{4} , y = x^{5} ,\cdots\) 的图像，你就会发现偶数幂的基本一致，奇数也是如此，所以如果要看一个多项式函数的在无穷远处的趋势，在这里我们就可以用这个简单的方法：考虑首项系数 \(a_{n}\) 的正负和最高次的奇偶 \(x^{n}\) ，当然这有四种情况，可以类比一次二次函数来思考。至于二次函数这个在学校里应该接触很多，有几个重要的点==配方与图像的联系==，二次函数二次方程和二次不等式的联系 ，这些是很重要的 -
有理函数：形如 \(\dfrac{p(x)}{q(x)}\) 的函数，其中 \(p(x)\),q(x)$ 是上面讲的多项式函数 有理函数的一般处理方法都是利用数学的
化归思想，也就是转化成分子次数尽量小的能化成复合函数来思考的，比如 \(\dfrac{x+3}{2x^{2}+4x+9}\) -
三角函数指对数函数：这些都是学校处理过了，或者可以看下面的部分
-
绝对值函数：形如 \(y = |x|\) 要注意这部分内容常常与绝对值方程不等式联系，注意图像处理这类问题的便捷性。常规来说，\(y = |x|\) 是把原函数在 \(x\) 轴下的图像反转得到